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Richiami sulle trasformazioni geometriche nel piano cartesiano

domenica 5 novembre 2017

Richiami sulle trasformazioni geometriche nel piano cartesiano

Dilatazioni (e contrazioni)

Ci chiediamo come cambiano le coordinate dei punti del piano in questa trasformazione: dilatazione di un fattore k=2 nella direzione y.

Osserviamo il punto P(2;2)

Il suo trasformato è P1(2;4)

Per ottenere da P1 il punto P2 possiamo adottare 2 strade:

[y1=y+2]

[x1=x];

oppure

[y1=2y]

[x1=x]

La prima strada funziona per P ma, per i punti del lato il lato inferiore del quadrato, non è valida (infatti i punti con y=0 andrebbero sulla retta y=2 invece di restare sull’asse; si avrebbe una traslazione)

La seconda strada funziona sia per P che per i punti del lato che poggia sull’asse x, e per tutti gli altri punti. E’ dunque questa la trasformazione delle coordinate dei punti che corrisponde alla dilatazione in esame.

In conclusione una dilatazione di un fattore k lungo un asse corrisponde alla trasformazione di coordinate:

y’=ky

x’=x

Traslazioni

Come cambiano le coordinate dei punti del piano cartesiano e quindi delle equazioni di una curva quando invece trasformiamo il piano con una traslazione?

Intanto ricordiamo che, nel piano cartesiano, un vettore può essere indicato tramite la coppia delle sue componenti lungo gli assi x e y. Il vettore V(a,b) è individuato dalle sue componenti a e b.

Inoltre una traslazione può essere individuata proprio tramite un vettore, che rappresenta lo spostamento di tutti i punti del piano.

Consideriamo dunque ad esempio una parabola con vertice nell’origine e asse coincidente con l’asse y \gamma e la sua traslata di un vettore \vec{V}(a,b) \gamma'. La parabola di partenza ha equazione y=\alpha x^2.

Quando applichiamo una traslazione i punti P(x,y) si sposteranno in P’(x1,y1) seguendo il vettore V(a,b). Le equazioni della trasformazione saranno:

[x1=x+a]
[y1=y+b]

Dunque cosa accade all’equazione della parabola \gamma con equazione y=\alpha x^2?

dobbiamo riscrivere le equazioni della traslazione esplicitando x e y:

[ x=x1-a]
[y=y1-b]

Sostituendo queste nell’equazione della parabola otteniamo

y_1-b=\alpha (x_1-a)^2

e sviluppando otteniamo

y_1=b+\alpha x_1^2+\alpha a^2-2\alpha a x

ovvero

y_1=\alpha x_1^2-2\alpha a x +(b+\alpha a^2)

e ponendo

\beta=-2\alpha a

e

\kappa=b+\alpha a^2

si ottiene la nota eq. della parabola

y_1=\alpha x_1^2+\beta x +\kappa

Moto armonico e Coseno

Si può filmare un moto armonico e dal filmato risalire alla sua legge oraria. Ad esempio quello che segue è il grafico della legge oraria dell’ombra di un pendolo. In ordinate si ha la posizione x e in ascisse il tempo t Il grafico appare simile a quello delle funzioni seno e coseno.

Ma, se ad esempio consideriamo la funzione coseno essa oscilla tra i valori -1 e 1 ed ha un periodo di 2\pigreco, mentre per la legge oraria in esame:

  1. la x oscilla tra 80 mm e -80 mm e il periodo T è di circa 1.9s

Quali trasformazioni geometriche dobbiamo applicare alla funzione coseno perché il suo grafico diventi quello del moto armonico in esame?

Prima di tutto bisognerà dilatare l’asse delle ordinate di un fattore k=80.

E per l’asse delle ascisse?

Ragioniamo: noi vogliamo che l’argomento della funzione coseno sia 2 \pi quando il tempo è T=1.9s. Anche qui si tratta di effettuare una dilatazione o contrazione di un fattore \omega.

se proviamo a scrivere

 x=k\cdot  cos (\omega t)

allora \omega t=2\pi quando t=T=1.9s

ovvero

1.9 \omega=  2\pi

da cui

\omega= \frac{2\pi}{1.9}= \frac{2\pi}{T}

L’equazione del moto in esame è dunque:

x=80\cdot cos \left(\frac{2\pi t}{1.9}\right)

Il cui grafico è infatti il seguente:

P.S.

a cura di A.F e L.R.

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