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La Geometria Euclidea

martedì 13 gennaio 2009, di Marcello De Vita

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La matematica e la geometria moderne sono figlie dirette del pensiero classico. Infatti, al contrario di altri popoli gli antichi greci non si limitarono a studiare i numeri e la geometria da un punto di vista empirico, cioè attraverso l’osservazione e la catalogazione delle proprietà delle operazioni e delle figure.
Essi introdussero in tali studi il ragionamento deduttivo o dimostrazione.

Ad esempio, molti popoli conoscevano la proprietà dei triangoli rettangoli che va sotto il nome di Teorema di Pitagora:

in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è pari alla somma dei quadrati costruiti sui cateti

I Greci però, produssero una dimostrazione di questa proprietà, cioè una catena di implicazioni logiche che dimostra che questa proprietà vale per qualsiasi possibile triangolo, a patto che sia rettangolo.Una dimostrazione ci assicura che nessuno potrà mai costruire un triangolo rettangolo che non abbia tale proprietà.

Euclide matematico vissuto nel terzo secolo pev, si occupa di raccogliere, organizzare e produrre tutta la conoscenza geometrica del suo tempo. La novità del suo libro, gli “Elementi”, uno dei più letti di tutti i tempi, è quella di organizzare tutte queste conoscenze secondo il metodo della dimostrazione, anche detto metodo assiomatico-deduttivo.

Cos’è il metodo assiomatico deduttivo?

Se cerchiamo di dimostrare ogni nostra affermazione attraverso una catena di implicazioni logiche, dobbiamo decidere quali sono gli anelli iniziali della catena, le affermazioni da cui partire.
Esempio:
- voglio dimostrare l’affermazione E.
- So che se A è vera, A implica B. E che B implica C. Inoltre C implica D.
- Ma D implica E. Dunque a partire dalla verità della affermazione A si dimostra la verità di E.

Ma chi mi assicura che A sia vera?

Dovrei dimostrare anche questa affermazione.
Ma per dimostrarla dovrei partire comunque da un’altra affermazione P. E così senza fine.

Da dove cominciare a ragionare? Questo è il punto.

Aristotele, filosofo greco del, si occupò approfonditamente della logica e dei suoi problemi, fino a teorizzare che le scienze dovessero essere organizzate e basate sulla logica.

Secondo Aristotele, ogni scienza sarebbe dovuta essere fondata su alcune affermazioni di partenza, dalle quali dedurre secondo le regole del ragionamento logico, per implicazione, ovvero per dimostrazione, tutte le altre conoscenze.
Quali affermazioni porre alla base di tutto? Come dovevano essere scelte tali affermazioni? Infatti esse corrispondono alle fondamenta di tutto l’edificio, se le fondamenta sono fallaci, tutto l’edificio può crollare, ossia trarre conclusioni errate.

Secondo Aristotele le affermazioni di partenza, dette postulati [1] o assiomi [2], dovrebbero essere affermzioni autoevidenti e innegabili, e nel numero più limitato possibile. Tutto il resto dovrebbe essere dedotto da essi.

Euclide dunque si propone di rifondare la geometria secondo i dettami di Aristotele.
Egli dunque scrive gli elementi sforzandosi di scegliere assiomi la cui verità fosse indiscutibile e di dimostrare quante più affermazioni possibili a partire da tali assiomi.

Gli elementi di Euclide hanno costituito per secoli il modello ideale di una scienza rigorosa basata su solide fondamenta.
Infatti, non solo l’opera era costruita in forma assiomatico-deduttiva, ma appariva in accordo con l’esperienza quotidiana dello spazio.

Dopo 2000 anni circa dalla scrittura degli Elementi, alcuni matematici si sono accorti che la scelta degli assiomi non è obbligata, e che la scelta di assiomi differenti da quelli di euclide porta a costruzioni intellettuali altrettanto rigorose, quali ad esempio le geometrie non euclidee.

Oggi non si richiede più a una scienza di essere vera in assoluto (realismo).
Si richiede alla scienza di essere una descrizione della realtà in accordo con:

  • la nostra esperienza di essa
  • le osservazioni in condizioni controllate che possiamop fare di essa (esperimenti)

Dunque una scienza, o una teoria è ritenuta accettabile se in accordo con le osservazioni che noi abbiamo a disposizione su quel fenomeno.
Infatti, quando le osservazioni sono poche e limitate è possibile che siano ammissibili varie teorie, come è attualmente il caso della cosmologia e dell’astrofisica, in quanto i dati disponibili si accordano altrettanto bene con l’una o con l’altra.

In matematica e geometria, scienze astratte per eccellenza, non si richiede più agli assiomi di essere verità autoevidenti; ci si limita a scecliere una serie di assiomi e dedurne le conseguenze. Cambiando gli assiomi si ottengono teorie differenti. Tutte altrettanto valide.

Hilbert, uno dei più famosi matematici di tutti i tempi, vissuto a cavallo del 1900, teorizza proprio che la matematica si occupa di proprietà formali di enti astratti, e che, solo incidentalmente, tali enti possono rappresentare oggetti della nostra esperienza (formalismo).

Quali di esse descriva meglio la realtà è altra cosa.
Ad esempio le geometrie euclidee nascono nel 1700 ev scegliendo affermazioni differenti dal V postulato di Euclide [3].
Con la relatività generale di Einstein ci convinciamo che per la descrizione dello spazio cosmologico le geometrie non euclidee sono più in accordo con le nostre conoscenze che non la geometria euclidea.

Cosa è un Teorema

Ogni catena di implicazioni logiche parte da alcune affermazioni iniziali, dette ipotesi, e porta a delle affermazioni finali, o conclusioni, dette tesi.

  • L’ipotesi è il punto di partenza
  • La dimostrazione è la rotta, il percorso
  • La tesi è il punto di arrivo

Se un triangolo è rettangolo, allora il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti

Ipotesi: il triangolo è rettangolo
Tesi: il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti

Non sempre i teoremi si presentano nella forma se-allora, ma è importante imparare a distinguere comunque l’ipotesi dalla tesi. Questa prima capacità è alla base della possibilità di costruire una dimostrazione.

La geometria come scienza astratta

Le figure studiate dalla geometria non sono le figure concrete che incontriamo nell’esperienza quotidiana. Piuttosto sono delle astrazioni di esse. Ogni punto concreto ha una dimensione, ma crescendo impariamo a concepire l’idea di un punto senza dimensioni. Allo stesso modoabbiamo cognizione del cerchio perfetto, mentre i cerchi concreti, osservati al microscopio, diventano irregolari. Platone, filosofo greco maestro di Aristotele, teorizza addirittura che la realtà ultima non è quella di cui facciamo esperienza con i sensi, ma quella delle idee che concepiamo con la mente: tutti infatti possimo concepire l’idea di punto, di retta, di cerchio, pur non facendo mai esperienza di una figura perfetta.La geometria, così come la matematica, si occupa di enti astratti, di figure ideali.Perfino il numero è una astrazione: il ter non esiste, è un’idea che astraggo dall’esperienza di insiemi con ugual numero di elementi:

  • tre sassi
  • tre pecore
  • tre persone
  • tre lance

Questa è la proprietà che chiamiamo cardinalità di un insieme.

P.S.

Le etimologie sono prese da www.etimo.it

Note

[1]

[2]

[3] Data una retta r e un punto P non appartenente ad essa, la retta parallela a r per P è unica

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