marcello de vita .net
Home page > Appunti di Matematica > Le definizioni di limite con xo

Le definizioni di limite con xo

sabato 24 novembre 2018, di Marcello De Vita

Definizione Topologica

col linguaggio degli intorni possimao sintetizzare sia i casi per $x \rightarrow \infty$ che i casi per limite $\infty$

$$ \Big\{\lim_{x\rightarrow x_o}{f(x)}=l\Big\} \Leftrightarrow \Big\lbrace \forall H(l) \; \exists \; K(x_o) \;|\; \forall x \in K(x_o) \Rightarrow f(x) \in H(l)\Big\} $$

e si legge:

Si dice che il limite della funzione $f(x)$ per $x$ che tende a $x_o$ è $l$
se e solo se
per ogni intorno $H$ di $l$ esiste un intorno $K$ di $x_o$
tale che
per ogni $x$ appartenente all’intorno $K$ di $x_o$
$f(x)$ appartiene all’intorno $H$ di $l$

Note: $x_o$ e d $l$ possono essere numeri reali o $\infty$
$x_o$ può non appartenere al dominio di $f(x)$ ma deve essere almeno un punto di accumulazione per esso

Si avranno dunque i seguenti casi principali

. $l\in\Re$ $l=\infty$
$x_o\in\Re$ $\lim_{x\rightarrow x_o}{f(x)}=l$ $\lim_{x\rightarrow x_o}{f(x)}=\infty$
$x_o=\infty$ $\lim_{x\rightarrow \infty}{f(x)}=l$ $\lim_{x\rightarrow \infty}{f(x)}=\infty$

Per ciascuno di essi si può tradurre la definizione topologica specificando i raggi degli intorni, chiamando $\epsilon$ e $\delta$ numeri piccoli e $M$ e $N$ numeri grandi

Si avrà dunque:

Limiti Finiti

A11 per $x_o\in\Re$, $l\in\Re$

$$ \Big\{\lim_{x\rightarrow x_o}{f(x)}=l\Big\} \Leftrightarrow \Big\{ \forall \epsilon>0 \; \exists \; \delta_\epsilon>0 \; \;\Big|\; |x-x_o |< \delta_\epsilon \Rightarrow |f(x)-l| < \epsilon \; \Big\}$$

e si legge

Il limite di una funzione per $x$ che tende a $x_o$ è $l$
se e solo se
per ogni $\epsilon$ positivo piccolo a piacere
esiste un $\delta$ di $\epsilon$ positivo tale che
se la differenza (in valore assoluto) di $x$ da $x_o$ è minore di $\delta_\epsilon$
allora la differenza tra la funzione e il limite $l$ è minore di $\epsilon$.

A21 per $x_o=\infty$, $l\in\Re$

$$ \Big\{\lim_{x\rightarrow \infty}{f(x)}=l\Big\} \Leftrightarrow \Big\{ \forall \epsilon>0 \; \exists \; M_\epsilon>0 \; \;\Big|\; |x|> M_\epsilon \Rightarrow |f(x)-l| < \epsilon \; \Big\} $$

Limiti INFiniti

A12 per $x_o\in\Re$, $l=\infty$

$$ \Big\{\lim_{x\rightarrow x_o}{f(x)}=\infty\Big\} \Leftrightarrow \Big\{ \forall M>0 \; \exists \; \delta_M>0 \; \;\Big|\; |x-x_o |<\delta_M \Rightarrow |f(x)| >M \; \Big\} $$

A22 per $x_o=\infty$, $l=\infty$

$$ \Big\{\lim_{x\rightarrow \infty}{f(x)}=\infty\Big\} \Leftrightarrow \Big\{ \forall M>0 \; \exists \; N_M>0 \; \;\Big|\; |x|> N_M \Rightarrow |f(x)| >M \; \Big\} $$

Limiti destri e sinistri, per eccesso e per difetto

Se i due intorni $H(l)$ e $K(x_o)$ non sono circolari ma sono destri o sinistri si parlera:

- per $K(x_o)$ (dominio della funzione, le x) di limite destro o sinistro
- per $H(l)$ (codominio della funzione, le y) li limite per eccesso o per difetto

SPIP | modello di layout | | Mappa del sito | Monitorare l'attività del sito RSS 2.0 | © marcello de vita