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La gara tra Achille e la tartaruga

a cura di F Di Meglio & C Addari

giovedì 15 aprile 2010

Achille è sfidato nella corsa da una lenta tartaruga, alla quale egli concede un vantaggio iniziale.

Supponiamo che achille sia dieci volte più veloce della tartaruga.

Secondo il ragionamento del filosofo greco Zenone Achille che parte dalla posizione (A) prima di poterla raggiungere deve pervenire al punto (T= A’) da cui la tartaruga è partita, ma nel frattempo questa sarà avanzata di un po’ raggiungendo la posizione ( T’ ). Quando achille si troverà nella posizione (T’=A’’) la tartaruga si troverà un pezzetto più avanti (T’’).

Quindi Achille non raggiungerà mai la tartaruga perché questa si sarà spostata sempre un po’ in avanti!

Proviamo a fare i conti.
Supponiamo che

  • la velocità di Achille sia di 10 m/s
  • quella della tartaruga sia di 1 m/s
  • che il vantaggio iniziale della tartaruga sia di 100m.

Dunque Achille è 10 volte più veloce della tartaruga

$n$ $A_n$$T_n$$DT_n$$d_n$
0 0 100 10 100
1 100 110 1 10
2 110 111 0,1 1
3 111 111,1 0,01 0,1
4 111,1 111,11 0,001 0,01
5 111,11 111,111 0,0001 0,001

Nella tabella:
- $n$ rappresenta il numero di passaggi
- $A_n$ la posizione di achille al passaggio $n$
- $T_n$ la posizione della tartaruga
- $DT_n$ lo spazio percorso in quel passaggio dalla tartaruga
- $d_n$ la distanza tra Achille e la tartaruga

Dalla tabella sembrerebbe che, al contrario di quanto sostenuto da Zenone, pur aumenntando sempre lo spazio percorso sia da achille che dalla tartaruga, questi numeri si avvicinino a un numero finito e precisamente $\frac{1000}{9}=111,1$

Ciò che è veremente strano è che allo spazio percorso dalla tartaruga aggiungiamo sempre dei pezzetti finiti $\DT_n$ per quanto piccoli, ma che questa somma sembrerebbe non essere illimitata ma avvicinarsi sempre di più a $\frac{1000}{9}$ senza mai superare ad esempio 111,12

Verifica

E’ veramente così?
E come può accadere questo?

Proviamo a calcolare la somma dello spazio percorso dalla tararuga

$T_n = 100+10+1+0,1+0,01+0,001…$ ovvero

$$T_n = \frac{100}{1}+\frac{100}{10}+\frac{100}{100}+\frac{100}{1000}+\dots$$

o anche

$$T_n = \frac{100}{10^0}+\frac{100}{10^1}+\frac{100}{10^2}+\frac{100}{10^3}+\dots$$

che riscritto con il simbolo di sommatoria diventa

$$ T_n=\sum_{i=0}^n{\frac{100}{10^i} $$

Ad esempio

$$ T_3=\sum_{i=0}^3{\frac{100}{10^i}=$$

che significa

$$ \begin{matrix} i=0 & i=1 & i=2 & i=3 \\ \frac{100}{10^0} + & \frac{100}{10^1} + & \frac{100}{10^2} + & \frac{100}{10^3} \end{matrix} $$

Vogliamo vedere se con $i$ che cresce indefinitamente (che tende all’infinito, come si suol dire) otteniamo un numero finito o infinito (come sosteneva Zenone) e quale numero sia, se esiste.

Se nella somma raccogliamo a fattor comune 100:

$$T_n = 100 \left( \frac{1}{1}+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\dots \right)=$$

$$=100 \left[ \left( \frac{1}{10}\right)^0+\left( \frac{1}{10}\right)^1+\left( \frac{1}{10}\right)^2+\left( \frac{1}{10}\right)^3+\dots\right]$$

Quindi bisogna capire cosa fa la somma

$$ \sum_{i=0}^\infty{\frac{100}{10^i} $$

Il problema è quello di calcolare una somma del tipo:

$$S_n=q^0+q^1+q^2+q^3+...+q^n$$

quando $n\rightarrow \infty$. Nel nostro casò è $q=\frac{1}{10}$.
Queste somme si chiamano Serie geometriche [1]

Dunque moltiplichiamo $S_n$ per $q$ e otteniamo

$$q S_n=q^1+q^2+q^3+q^4\dots+q^{n+1}$$

Calcoliamo $S_n - q S_n$ sottraendo membro a membro le due equazioni:

$$S_n=q^0+q^1+q^2+q^3+\dots+q^n$$

$$q S_n=q^1+q^2+q^3+q^4+\dots+q^{n+1}$$


$$S_n - q S_n=q^0-q^{n+1}$$

Si cancellano tutti i termini tranne questi due. Se poi ricordiamo che $q^0=1$ abbiamo:

$$S_n - q S_n=1-q^{n+1}$$

e quindi

$$S_n(1- q)=1-q^{n+1}$$

$$S_n\frac{(1- q)}{(1- q)}=\frac{(1- q^{n+1})}{(1- q)}$$

$$S_n=\frac{(1- q^{n+1})}{(1- q)}$$

Cosa ci dice questa equazione? Che se q è minore di 1 quando n è molto grande $S_n$ si avvicina a

$$S=\frac{1}{1- q}$$

in quanto $ q^{n+1}$ diventa molto piccolo

Nel nostro caso

$$T_n=100 \cdot \frac{(1- \left( \frac{1}{10}\right)^{n+1})}{(1- \left( \frac{1}{10}\right))}=100 \cdot \frac{1- 0,1^{n+1}}{0,9}$$

Se ad esempio $n=3000$

$$T_{3000}=100 \cdot \frac{1- 0,1^{3001}}{0,9}\simeq 100 \cdot \frac{1}{0,9}= \frac{1000}{9}= 111,\overline{1}$$

Infatti $0,1^{3001}$ è un numero piccolissimo: zero virgola tremila zeri e poi uno

Si scrive dunque:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}T_n=\frac{1000}{9}$$

E si dice che $T_n$ tende al limite $\frac{1000}{9}$ per n che tende a infinito.

Siccome anche Lo spazio percorso da Achille $A_n$ tende allo stesso limite:

La tartaruga e Achille s’incontrano a $111,\overline{1}$m

Il paradosso di Zenone così trattato, e, in termini matematici, il limite finito della serie geometrica (per $0

$$100+10+1+0,1+0,01+0,001+\dots=111,\overline{1}=\frac{1000}{9}$$

Come si può notare, si tratta di una somma di infiniti intervalli. Il risultato però non è una quantità infinita, ma una quantità ben definita, sebbene razionale. Essa è compresa tra 111,111 metri e 111,112 metri, pertanto, in questo tratto, Achille raggiungerà la tartaruga.
Tale serie infinita è detta convergente e il limite S della sequenza delle somme parziali viene detto somma della serie.
L’“errore” nel ragionamento di Zenone consiste nell’idea che la somma di un numero infinito di intervalli finiti di spazio e di tempo debba sempre essere finita.

IL CONCETTO DI SERIE NUMERICA

  • Una successione di numeri reali (naturali,interi, razionali,irrazionali) è una legge che ad ogni numero n naturale (cioè intero non negativo: 0,1,2,3,4…) associa un numero reale $a_n$ , o in altri termini una funzione che ha per dominio $N$.
  • SERIE: si dice serie associata alla successione $a_n$ l’espressione $\sum_{n}^\infty{a_n} = a_0 + a_1 + a_2 + \dots$

In particolare, proprio nel caso in cui le quantità che si succedono sono sempre più piccole, può accadere che il limite delle loro successive somme sia finito: si parlerà in tal caso di serie convergenti, per distinguerle da quelle divergenti il cui limite è invece infinito.

P.S.

Bozza

Note

[1] vedi in fondo

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