Materiali sull’introduzione ai numeri irrazionali

Dimostrazione dell’irrazionalità di radice di 2

Qui è come fatta in classe

in pdf:

Dimostrazione Irrazionalità radice di 2

Nota bene:

se un numero naturale è pari lo è anche il suo quadrato e viceversa

Infatti scomponendo m in fattori primi:

elevando al quadrato:

Per le proprietà delle potenze:

Cioè l’elevamento a quadrato non aggiunge o toglie fattori primi, ma solo il grado con cui compaiono si raddoppia!!!

Il formato della carta A4

I formati dei fogli da disegno A1,A2 etc sono sottomultipli del formato A0 che corrisponde ad un rettangolo di area pari a 1 m^2 e che ha i lati in rapporto tale che tagliando tale rettangolo a metà del lato maggiore si ottiene un rettangolo simile [1] a quello di partenza.

Impostando la proporzione:

e ponendo

si ottiene:

Poiché x=a/b si può riscrivere come a=bx, sostituendo quest’ultima a secondo membro si ottiene

e semplificando:

Moltiplicando per x<>0 entambe i membri si ottiene

da cui

Poiché a/b esprime il rapporto da due lunghezze, quantità sempre positive, la soluzione cercata è

Dunque il rettangolo cercato è un rettangolo il cui rapporto tra i lati è il numero irrazionale .

Imponendo ora che l’area del rettangolo sia ossia:

e mettendo a sistema con

Si ha:

Sostituendo:

ovvero

da cui, poichè a>0 perché una lunghezza:

Osservando la figura si vede che il lato corto di A4 è pari a 1/4 di a e cioè circa 21.0cm mentre il lato lungo è pari a b/4 pari circa a 29.7cm