Le definizioni di limite con xo

Definizione Topologica

col linguaggio degli intorni possimao sintetizzare sia i casi per $x \rightarrow \infty$ che i casi per limite $\infty$

$\Big\{\lim_{x\rightarrow x_o}{f(x)}=l\Big\} \Leftrightarrow \Big\lbrace \forall H(l) \; \exists \; K(x_o) \;|\; \forall x \in K(x_o) \Rightarrow f(x) \in H(l)\Big\}$

e si legge:

Si dice che il limite della funzione per che tende a è
se e solo se
per ogni intorno di esiste un intorno di
tale che
per ogni appartenente all’intorno di
appartiene all’intorno di

Note: e d possono essere numeri reali o $\infty$
può non appartenere al dominio di ma deve essere almeno un punto di accumulazione per esso

Si avranno dunque i seguenti casi principali

.	$l\in\Re$	$l=\infty$
$x_o\in\Re$	$\lim_{x\rightarrow x_o}{f(x)}=l$	$\lim_{x\rightarrow x_o}{f(x)}=\infty$
$x_o=\infty$	$\lim_{x\rightarrow \infty}{f(x)}=l$	$\lim_{x\rightarrow \infty}{f(x)}=\infty$

Per ciascuno di essi si può tradurre la definizione topologica specificando i raggi degli intorni, chiamando $\epsilon$ e $\delta$ numeri piccoli e e numeri grandi

Si avrà dunque:

Limiti Finiti

A11 per $x_o\in\Re$ , $l\in\Re$

$\Big\{\lim_{x\rightarrow x_o}{f(x)}=l\Big\} \Leftrightarrow \Big\{ \forall \epsilon>0 \; \exists \; \delta_\epsilon>0 \; \;\Big|\; |x-x_o |< \delta_\epsilon \Rightarrow |f(x)-l| < \epsilon \; \Big\}$

e si legge

Il limite di una funzione per che tende a è
se e solo se
per ogni $\epsilon$ positivo piccolo a piacere
esiste un $\delta$ di $\epsilon$ positivo tale che
se la differenza (in valore assoluto) di da è minore di $\delta_\epsilon$
allora la differenza tra la funzione e il limite è minore di $\epsilon$ .

A21 per $x_o=\infty$ , $l\in\Re$

$\Big\{\lim_{x\rightarrow \infty}{f(x)}=l\Big\} \Leftrightarrow \Big\{ \forall \epsilon>0 \; \exists \; M_\epsilon>0 \; \;\Big|\; |x|> M_\epsilon \Rightarrow |f(x)-l| < \epsilon \; \Big\}$

Limiti INFiniti

A12 per $x_o\in\Re$ , $l=\infty$

$\Big\{\lim_{x\rightarrow x_o}{f(x)}=\infty\Big\} \Leftrightarrow \Big\{ \forall M>0 \; \exists \; \delta_M>0 \; \;\Big|\; |x-x_o |<\delta_M \Rightarrow |f(x)| >M \; \Big\}$

A22 per $x_o=\infty$ , $l=\infty$

$\Big\{\lim_{x\rightarrow \infty}{f(x)}=\infty\Big\} \Leftrightarrow \Big\{ \forall M>0 \; \exists \; N_M>0 \; \;\Big|\; |x|> N_M \Rightarrow |f(x)| >M \; \Big\}$

Limiti destri e sinistri, per eccesso e per difetto

Se i due intorni e $K(x_o)$ non sono circolari ma sono destri o sinistri si parlera:

per $K(x_o)$ (dominio della funzione, le x) di limite destro o sinistro
per (codominio della funzione, le y) li limite per eccesso o per difetto

Definizione Topologica

Limiti Finiti

Limiti INFiniti

Limiti destri e sinistri, per eccesso e per difetto

Sezioni

Matematica

Fisica

News, Segnalazioni, Eventi

In Evidenza

Per Classe

Nella stessa rubrica