Storiella
Un ninfea viene piantata al centro di un lago. La ninfea si riproduce raddoppiando ogni giorno la propria estensione; in 100 giorni arriva a coprire tutto il lago. Quanto tempo impiega per coprirne la metà?
La risposta che viene spontanea è il 50esimo giorno. Ma è sbagliata.
Un piccolo ragionamento ci può aiutare a risolvere il quesito:
La ninfea il secondo giorno dà vita ad un’altra ninfea.
Quindi ci sono nel lago 2 ninfee.Queste 2 ninfee si riproducono, il terzo giorno, dando vita ad altre 2 ninfee.
Quindi ci sono nel lago 4 ninfee. Queste 4 ninfee si riproducono, il quarto giorno, dando vita ad altre 4 ninfee.
Quindi ci sono nel lago 8 ninfee. Queste 8 ninfee si riproducono, il quinto giorno, dando vita ad altre 8 ninfee.
Quindi ci sono nel lago 16 ninfee.
E così via discorrendo…
Se, terminata la produzione al quinto giorno , per esempio, il numero delle ninfee che sul lago è 16, e questo è il numero totale di ninfee che possono arrivare a coprire completamente il lago, vedremo che la metà delle 16 ninfee (8ninfee), cioè il numero delle ninfee che ha coperto metà del lago, si sono formate al quarto giorno.
Il quarto giorno è il giorno precedente a quello del completamento.
Quindi la risposta esatta al quesito è il 99esimo giorno.Il giorno precedente al 100esimo, in cui le ninfee arrivano a coprire tutto il lago.
Calcolo e Grafico sul Foglio Elettronico:
Legenda:
- g è il numero dei giorni
- n e n1 rappresentano il numero delle ninfee corrispondenti. Questi numeri sono funzione del numero di giorni trascorsi g. Scriveremo dunque n(g) come scriviamo f(x) per una funzione della variabile x.
E’ possibile calcolare il numero di ninfee con due funzioni differenti:
n è calcolato con un processo iterativa: sapendo che ogni giorno ogni ninfea si raddoppia: il numero di ninfee presenti il giorno g n(g) è pari al doppio del numero di nifee presenti il giorno precedente
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Lo svantaggio è che per conoscere il numero di ninfee un dato giorno devo aver già calcolato il numero di ninfee tutti i giorni precedenti.
Sarebbe utile poter calcolare il numero di ninfee direttamente dalla conoscenza del numero di giorni. Se osserviamo la teballa, possiamo accorgerci che il numero di ninfee segue le potenze di 2. Possiamo allora scrivere:
Come possiamo vedere dal foglio di calcolo il risultato è lo stesso.
Questo è il grafico del nostro calcolo.
Si può osservare che il numero di ninfeee cresce molto velocemente e la curva si inclina molto velocemente.
Un esempio simile è quello delle cellule che si riproducono dividendosi a metà:
| giorno | numero cellule |
|---|---|
| 1° | 1 |
| 2° | 2 |
| 3° | 4 |
| 4° | 8 |
anche qui il 3° giorno si raggiunge la metà delle cellule complessive (8)
Riassunto eseguito da Alessandra Longo e Ilaria Formichella
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