Abbiamo viso il limite l finito per una funzione e x che tende a un numero finito .
si può parlare anche di limite infinito?
e si può parlare di limite per ?
Sì e Sì
Per parlare di tutti questi casi con una sola definizione utilizziamo
La Definizione Topologica di Limite
e si legge:
Si dice che il limite della funzione per che tende a è
se e solo se
per ogni intorno di esiste un intorno di
tale che
per ogni appartenente all’intorno di
appartiene all’intorno di
Il concetto è quello che abbiamo intuitivamente già compreso: quando la si avvicina a un certo valore , la si avvicina al valore limite
Questa definizione, oltre il caso già visto in cui e sono numeri reali finiti, usando il linguaggio degli intorni, comprende i casi per e i casi per limite che vedremo fra poco.
Limiti infiniti
per x che tende a infinito
se prendiamo la funzione
(una semplice parabola) per x che cresce anche la y cresce indefinitamente; ovvero quando x è in un intorno di infinito, anche y entra in un intorno di infinitoper x che tende a Ma il limite può essere infinito anche per x che tende a un numero finito:
Ad esempio [...]
limite finito per x che tende a infinito
Quando invece, per , si ha un limite finito, abbiamo i ben noti [1] asintoti orizzontali.
L’esempio è quello dell’iperbole
per cui:
Inoltre, in questi casi, si dice che la funzione ha un asintoto [2] orizzontale .
Una funzione ammette sempre un limite?
Quando si procede al calcolo di un limite, si trova sempre un risultato, che esso sia un numero finito o l’infinito?
NO
In alcuni casi il limite non esiste.
Ad esempio la funzione y=sen(x) non ammette limite per . Infatti per quanto x cresca, la y continua a oscillare tra 1 e -1 e non si avvicina a nessun numero.
Esistono casi in cui il limite non esiste anche per finito?
SÌ
Questo avviene quando, per un certo valore di x la funzione fa un ’salto’:
Ma il grafico qui sopra è il grafico di una funzione?
SI
e per di più una funzione biunivoca: a ogni valore della x corrisponde uno e un solo valore della y.
L’espressione della funzione è un po’ particolare: si dice definita pe "casi"
Per questa funzione NON ammette limite: infatti quando x si avvicina a 2 la y si avvicina a due numeri differenti se ci stiamo avvicinando da destra (numeri più grandi di due) o da sinistra. Nel primo caso y si avvicina a 7/2 e nel secondo a 5/2.
Eppure, quando x si avvicina a 2 da sinistra, cioè con numeri più piccoli di 2, la y si avvicina quanto si vuole a 5/2. Si può parlare allora di limite sinistro
Se ci stiamo avvicinando da destra (numeri più grandi di due) y si avvicina a 7/2: questo si chiamerà limite destro
se esiste il limite per ALLORA esistono limite destro e sinistro.
NON è vero il viceversa
Quando esiste il limite finito di una funzione per si dice che la funzione è continua in
Definizione di funzione continua
Si dice che una funzione per
se e solo se
ESISTE E esiste finito il limite per e coincide con .
Il primo esempio che abbiamo fatto sul limite di una funzione, quello del calcolo della velocità istantanea come limite della velocità media per è il caso di una funzione discontinua: in infatti la funzione velocità media non esiste, e quindi è violata la prima condizione di continuità, mentre come abbiamo visto il limite esiste.
Il grafico era quello di una retta con un ’buco’ per
Sopra abbiamo visto 3 casi in cui la funzione NON è continua:
- il caso in cui la funzione fa un salto si chiama discontinuità di I specie, ed è quello in cui esiste ma non il limite
- il caso in cui c’è un asintoto verticale si chiama discontinuità di II specie, ed è quello in cui NON esiste e il limite è INFINITO
- il caso in cui c’è un ’buco’ si chiama discontinuità di III specie, ed è quello in cui NON esiste MA ESISTE il limite FINITO per
In tutti questi casi le funzioni non sono continue e infatti, per disegnarle, siamo costretti a staccare la penna dal foglio
Generalmente le funzioni che studiamo sono continue o continue a tratti, ma possono esistere funzioni molto "strane"
Ad esempio la funzione di Dirichlet è una funzione che ha come dominio tutto ma che non è continua in nessun punto:
Siccome intorno a un numero razionale ve ne sono infiniti irrazionali e viceversa questa funzione salta in ogni suo punto da zero a uno, e non esiste mai il limite
SOMMARIO
Limiti infiniti
Limiti per
Asintoti
Funzione continua
Discontinuità di prima specie: limite destro e sinistro
Discontinuità di seconda specie
Discontinuità di terza specie